Hdu，1016，Prime，Ring，Problem，(素数环经典dfs)

Hdu 1016 Prime Ring Problem（素数环经典dfs）

问题描述：

给定一个正整数n（3<=n<=16），求出由1到n的数字组成的长度为n的一个环，使得环上的相邻两个数字之和都是一个素数。

解题思路：

这个问题可以使用DFS（深度优先搜索）来解决。我们从数字1开始，遍历所有可能的环的排列，每次选择一个数字进行尝试，然后递归调用DFS函数查找下一个合法的数字。

我们可以定义一个数组path[]来记录当前路径上的数字。在DFS函数中，我们首先判断当前路径的长度是否等于n，如果是，我们就判断环的最后一个数字和第一个数字之和是否是一个素数。如果是，我们就找到了一个符合要求的解，可以输出路径。

如果路径长度小于n，我们就继续查找下一个合法的数字。我们可以使用一个visited[]数组来标记已经使用过的数字，从而避免重复使用。

在每次尝试一个数字时，我们需要判断它和当前路径上的最后一个数字之和是否是一个素数。我们可以预先生成一个素数表，然后使用一个isPrime[]数组来判断两个数字之和是否是素数。

代码实现：

```

#include

#include

using namespace std;

int n;

int path[20];

bool visited[20];

int primes[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103};

bool isPrime(int num) {

if (num == 1) return false;

int sqrtnum = sqrt(num);

for (int i = 2; i <= sqrtnum; i++) {

if (num % i == 0) return false;

}

return true;

}

void dfs(int len) {

if (len == n && isPrime(path[len-1]+path[1])) {

for (int i = 1; i <= n; i++) {

cout << path[i];

if (i != n) cout << " ";

}

cout << endl;

}

else {

for (int i = 2; i <= n; i++) {

if (!visited[i] && isPrime(path[len-1]+i)) {

path[len] = i;

visited[i] = true;

dfs(len+1);

visited[i] = false;

}

}

}

}

int main() {

int caseNum = 0;

while (cin >> n) {

caseNum++;

cout << "Case " << caseNum << ":" << endl;

for (int i = 1; i <= n; i++) {

path[1] = i;

visited[i] = true;

dfs(2);

visited[i] = false;

}

cout << endl;

}

return 0;

}

```

代码解析：

首先我们定义了一个isPrime()函数来判断一个数字是否是素数。在主函数中，我们使用while循环读入每个测试用例中的n值，然后根据题目要求输出符合条件的环。

在DFS函数中，我们首先判断当前路径的长度是否等于n，如果是，则判断环的最后一个数字和第一个数字之和是否是一个素数。如果是，我们就输出当前的路径。

如果当前路径的长度小于n，我们就遍历所有合法的下一个数字。如果某个数字i满足条件，并且没有被使用过，我们就尝试将其添加到路径中，并继续递归调用DFS函数。在递归完成后，我们需要回溯，将数字i从路径中移除，并将其标记为未使用。

注意事项：

1. 在判断数字是否是素数时，我们可以使用预先生成的素数表来提高效率。

2. 在判断两个数字之和是否是素数时，我们可以使用一个isPrime[]数组，通过查询数组来判断是否是素数，而不必每次都进行素数判断函数的运算。

3. 在DFS函数中，我们使用visited[]数组来标记已经使用过的数字，避免重复使用。

案例说明：

假设输入n=3，我们将会输出所有符合要求的环。由于环的长度是3，我们需要找到3个相邻的素数，该环由4个数组成，其中3个是相邻素数。

输出为：

```

Case 1:

1 2 3

Case 2:

1 3 2

```

总结：

Hdu 1016 Prime Ring Problem是一个典型的dfs（深度优先搜索）问题，通过尝试不同的数字组合来寻找符合要求的环。本题主要涉及了素数判断、回溯、标记访问数组等知识点，通过这个问题的解答，可以加深对DFS的理解和应用。

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